Ecuaciones Trigonometricas 1 Bachillerato Ejercicios Resueltos Fixed ((new)) Here

Informe: Ecuaciones trigonométricas — 1º de Bachillerato (Ejercicios resueltos)

Ejercicio 6: Ecuación con tangente (Fixed: periodicidad)

Enunciado: Resuelve: (\tan^2 x - 3 = 0)

Solución:

  1. Despejamos: [ \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt3 ]

  2. ¿Qué ángulos tienen tangente (\sqrt3)? [ \tan x = \sqrt3 \Rightarrow x = 60^\circ = \frac\pi3 \ \texty \ x = 240^\circ = \frac4\pi3 ] Pero la tangente tiene periodo (\pi), así que: [ x = \frac\pi3 + k\pi ]

  3. Para (\tan x = -\sqrt3): [ x = 120^\circ = \frac2\pi3 + k\pi ]

  4. Unificando: como ambas familias son (\frac\pi3 + k\pi) y (\frac2\pi3 + k\pi), la solución general es: [ x = \frac\pi3 + \frack\pi2 \ ? ] Mejor mantenerlas separadas: [ x = \frac\pi3 + k\pi, \quad x = \frac2\pi3 + k\pi ] Despejamos: [ \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt3 ]

Fixed: La tangente tiene periodo (\pi), no (2\pi). No escribas (+2k\pi) para tangente.

Ejercicio 2: Ecuación Cuadrática (Cambio de Variable)

Resolver: $2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0$

Solución:

  1. Cambio de variable: Hacemos $z = \cos(x)$. La ecuación queda: $2z^2 - 3z + 1 = 0$

  2. Resolvemos la ecuación de 2º grado: $$z = \frac3 \pm \sqrt(-3)^2 - 4(2)(1)2(2)$$ $$z = \frac3 \pm \sqrt9 - 84 = \frac3 \pm 14$$ ¿Qué ángulos tienen tangente (\sqrt3)

    Tenemos dos soluciones para $z$:

  3. Volvolvemos a la trigonometría:

    • Caso 1: $\cos(x) = 1$ $x = \arccos(1) + 2\pi n \rightarrow x = 0 + 2\pi n$ (o $2\pi n$)
    • Caso 2: $\cos(x) = \frac12$ $x = \pm \arccos(1/2) + 2\pi n \rightarrow x = \pm \frac\pi3 + 2\pi n$

    Solución General: $x = 2\pi n \quad ; \quad x = \pm \frac\pi3 + 2\pi n, \quad n \in \mathbbZ$.

Type 4: Using ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 )

Exercise 7: Solve ( 2\cos^2 x + 3\sin x = 0 ).

Step 1: Replace ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ).
( 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 0 )
( 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 0 )
( -2\sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0 ) Multiply by -1: ( 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0 ). sine range [-1

Step 2: Let ( y = \sin x ): ( 2y^2 - 3y - 2 = 0 ). Discriminant: ( 9 + 16 = 25 ), ( y = \frac3 \pm 54 ).
( y_1 = 2 ) (invalid, sine range [-1,1]), ( y_2 = -\frac12 ).

Step 3: ( \sin x = -1/2 ): ( x = \frac7\pi6,\ \frac11\pi6 ) in [0, 2π).
Answer: ( \frac7\pi6,\ \frac11\pi6 ).

¿Qué es una Ecuación Trigonométrica?

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la variable o incógnita aparece como parte del argumento de una o más funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.).

Ejemplo: [ 2\sin x = 1 ] No es una identidad, sino una ecuación que solo se cumple para ciertos valores de (x).

4. Ejercicios Resueltos

A continuación, se presentan ejercicios representativos del temario de 1º de Bachillerato. Trabajaremos en Grados por ser la notación más común en la introducción del tema, pero el procedimiento es análogo en radianes.